1、倒立摆

很显然我们知道自行车在左右方向上不稳定，这是一个很常见的物理模型——倒立摆。如上图1。

顾名思义，倒立摆的意思就是倒着的摆，比如一个倒着的杆，如上图2。

倒立摆的特性：不稳定，只要偏离平衡位置，就会有一个力(重力的分力)使系统更加偏离平衡位置，这样偏差就会越来越大。

一般倒立的杆在前后左右方向都有可能倒下，在二维的平面上不稳定；而自行车仅在左右方向上可能倒下，是一维的倒立摆，这要简单一些。

上图是几个生活中常见的倒立摆例子。

2、自行车的平衡控制

自行车属于倒立摆模型，倒立摆是不稳定的，那么倒立摆应该如何控制才能平衡呢？

我们把问题拆分一下：

1. 怎样的状态才叫平衡？
2. 我们能控制的是什么？
3. 如何控制才能稳定平衡？

2.1 怎样的状态才叫平衡

我们要对”平衡”进行数学描述，所谓的平衡其实就是倒立摆的倾角稳定在一个我们想要的值。

如上图2，通常我们想要平衡在θ = 0处。

2.2 我们能控制的是什么

对于倒立摆模型，通常我们能控制的是底端的 力 或 速度 或 位置，不同的控制量对应的控制方法不同。

对于自行车来说，它的控制方式不像通常的倒立摆那样直接控制底部，而是间接地通过转向来控制，当自行车以一个固定的速度前进时，自行车把手以一定角度进行转向(设为α)，自行车会做相应半径的圆周运动，产生相应大小的”离心力”。

在自行车这个费惯性系里看来，只要对把手进行一定角度的转向(α)，就会产生一个相应大小的横向力，如上面最后一图。

这就是我们进行平衡控制时的实际控制量——把手转角α，只要控制它就能控制回复力。

2.3 如何控制才能平衡

上面我们已经能够通过转向产生回复力，这个回复力可以把倒立摆”掰回”平衡位置，有往回掰的回复力就能稳定平衡了吗？
并不是这样，我们再来回顾一下中学物理: 
过阻尼状态的摆会以较慢的速度回到平衡位置；
欠阻尼状态的摆会很快回到平衡位置，但会在平衡位置来回摆动；
临界阻尼状态的摆会以最快的速度稳定在平衡位置。

结合到实际的自行车平衡中就是：
如果回复力不够大，就无法矫正，或者矫正速度很慢，这会导致系统不稳定；
如果回复力过大，就会导致矫正过度，这也会导致系统不稳定； 我们最希望的状态就是回复力刚刚好，刚好使倒立摆快速回到平衡位置，又不至于矫正过度。

这是一个复杂的数学计算过程，回复力大小会在系统运行时不断地计算(本平衡自行车是20ms计算一次)，用到的是PID算法，会在后面详细介绍。

3、自行车平衡需要解决的基本问题

1. 获取左右方向倾角θ
2. 以合适的算法控制转角α使系统稳定平衡

这将会在下面详细讨论。

前面已经分析了，我们通过控制把手转角来控制回复力，我们需要实时计算一个合适的回复力使系统稳定平衡。

这部分内容也不做详细介绍了，网上有大量资源，也可以查看本工程源码。

在这里引用动力老男孩举的一个例子，帮大家简单理解一下需要解决的问题，以及PID算法是如何解决的。

如上图，有一个小球在光滑球面上，小球的位置是x，光滑球面顶端在L处，我们可以控制小球水平方向力F，现在要求让小球稳定平衡在x0处。

先看简单情况 x0=L，此时偏差为 x-L，

我们给出一个比例项(P) F = kp*(L-x)，这样就会有一个回复力，当偏差存在时就会有一个力把小球拉回L处。
这存在的问题是，小球接近L时是会有一定速度的，小球越来越接近L，此时的力仍然是在把小球往L处拉，这会导致小球到达L时(我们想要的位置)速度很大，小球无法立刻停下来，而是会冲过去。
这样小球就会在L附近来回摆动，这是不稳定的状态，属于欠阻尼状态。

为了解决上述问题需要加一个微分项(D) F = kd*dx/dt = kd*v，所谓”微分”指的是位置x对时间的微分，说白了就是速度。
意思就是当速度越大，就产生一个反向的力使速度减小，这样就可以防止出现上面小球冲过去的。
可以认为这一项具有”预测”功能，预测小球下一时刻的状态从而提前做出反应(预测小球将要到达L处，提前减速)，
也可以认为这一项具有阻尼作用，相当于系统中有一个和速度成比例的阻尼力。
这个”阻尼力”调得过小会导致欠阻尼状态，调得过大会导致过阻尼状态。

积分项此时可以不用，积分项是当平衡位置x0不等于L时使用的，
当平衡位置不是L处，那么当小球静止在平衡位置x0时，由于在坡道上会有一个恒定的横向偏移力，此时比例调节作用为0(Δx=0)，微分调节作用也是0(v=0)，所以小球在该处无法平衡，会在更远离平衡位置处达到平衡，那么就会有一个长时间存在的偏差。
积分作用就是检测偏差进行累积，对于上面这个长时间存在的偏差进行积分(累积叠加)，使系统在长时间范围可以稳定在要求的平衡位置。